Hablando de geometrías

Por: Fernando Alejandro León Avelar.

Teodora Tsijli (2004) rescata la redacción actual del quinto postulado de Euclides como sigue:

“Dada una recta y un punto fuera de ella existe una única recta que pasa por el punto y es paralela a la recta” (p.107); además, señala esta autora, que el postulado por si mismo fue y sigue siendo controversial, pues muchos matemáticos se dedicaron a querer demostrarlo usando los otros postulados de la geometría euclideana para poder convertirlo en teorema.

Ruíz (1999) señala en su obra que el impacto de las geometrías no euclidianas fue enorme, pues después de 23 siglos de los planteamientos de euclides se generaban nuevas percepciones sobre lo que ya se tenía, el autor señala en esa línea de pensamiento que "Las geometrías no euclideanas constituyen una de las grandes revoluciones en el pensamiento, con implicaciones extraordinarias en la historia de las matemáticas y de la ciencia" (p.57).

 'La geometría' (bajo su entendido único y generalizado) en el sentido clásico, daría entonces un giro hacia la noción de 'las geometrías' (con nuevas percepciones y posibilidades) a partir del denominado quinto postulado de la geometría euclidea. Según Ruíz (2003) Gauss habría estudiado con gran interés los postulados de Euclides y al no poder probar los postulados en sí mismos consideraría una nueva geometría: “la nueva geometría que llamó anti-euclideana, luego astral y después no euclideana” (p.421), esto es la consideración de otros espacios o condiciones desde donde se intentó demostrar el postulado, Gauss no publicaría sus trabajos aunque sí mantendría comunicación con otros matemáticos contemporáneos.

 A partir de lo que expone Ruíz (2004) podríamos entender que Gauss consideró más bien algún espacio en otro tipo de geometría, como lo son la esférica o la hiperbólica donde las propiedades de los triángulos no se cumplen como en la geometría plana, lo que sería algo revolucionario para su tiempo y permitiría consideraciones y aplicaciones distintas a las alcanzadas hasta ese momento, pero no fue el único en plantear nuevas interpretaciones, casi en forma simultánea otros matemáticos de la época trabajarían en nuevas visiones sobre el espacio geométrico.

 El matemático ruso Lobachevsky por su parte, concebiría el principio de geometría imaginaria y luego la pangeometría. El húngaro Bolyai -amigo de Gauss- también habría trabajado en la geometría no euclideana, aunque al igual que Gauss, no habría publicado sus trabajos sino hasta después que Lobachevsky. Básicamente lo que hicieron tanto Lobachevsky y Bolyai fue tratar al quinto postulado en forma separada de los otros y concebir “una proposición contraria a ese axioma, para entonces deducir las consecuencias en um nuevo sistema con el nuevo axioma” (Ruiz 2003, p.421), es decir, el cuestionar lo que está dado y el plantear escenarios distintos permitió concebir nuevas posibilidades para el desarrollo de la matemática y particularmente de la geometría.

 Debido a que ni Gauss ni Bolyai publicaron sus trabajos, existió alguna controversia sobre quién concibió primero la idea de las geometrías no euclideas, Ruíz resalta el hecho que Lobachevsky no fue publicado en alemán sino hasta 1840, siendo leído sólo por algunos críticos rusos antes, esto nos lleva a una reflexión sobre el carácter eurocéntrico del desarrollo de las ciencias y en particular de las matemáticas, al menos hasta el siglo XIX, entiéndase por eurocéntrico a Europa occidental con la predominancia de las obras publicadas en francés, inglés y alemán primordialmente, en detrimento de quienes publicaron en otros idiomas, como fue el caso de Lobachevsky.

 Por supuesto, los aportes tanto de Gauss, de Bolyai y de Lobachevsky no pasarían desapercibidos para los matemáticos de la época, de hecho uno de los que se inspiraría y que aportaría enormemente al desarrollo de las geometrías no euclideas es el matemático alemán Georg Friedich Bernhard Riemann (1826-1866).

 En efecto, los trabajos previos publicados por Lobachevsky y las ideas promovidas por Gauss sobre otro tipo de geometrías llevarían a Riemann a formular su propio sistema de pensamiento, este matemático “en lugar de asumir que existe un número infinito de rectas paralelas que pasan por un punto exterior a una recta dada, asumió que no pasaba ninguna” (Ruíz 2003, p.423); con esto, vemos que el aporte de Riemann fue el pensar en un panorama 'otro' y a partir de estas nuevas condiciones pudo visualizar otro comportamiento de los principios pensados originalmente desde la geometría plana.

 Además, Riemann pondría en duda los otros postulados y sugirió que es diferente una longitud infinita a una longitud inacabable o ilimitada, con lo que generaría una nueva geometría. Como similitud entre las geometrías impulsadas por Gauss y por Riemann están el que para el primero para triángulos muy pequeños, la suma de ángulos internos tiende a 180 grados, en el caso de Riemann dicha suma se acerca por arriba y para triángulos pequeños también ronda los 180 grados (Ruíz 2003, p.423).

A modo de conclusión, rescatar la importancia de la creatividad y del replantear lo que ya está dado. No como un cuestionamiento cerrado y sin razón, sino como la capacidad de pensar en escenarios 'otros', en nuevas posibilidades que nos permitan demostrar lo que desde otras visiones no se logra demostrar o inclusive lo que en ese replanteo nos permita generar nuevas concepciones o aplicaciones en diversas áreas. El pensamiento de matemáticos como Gauss, Lobachevsky, Bolyai, Riemann y otros que contribuyeron al desarrollo de las geometrías no euclideas, son ejemplos de esa capacidad creadora para reformular y cuestionar lo ya dado y no caer en la inacción del conformismo.

Referencias

Ruíz Zúñiga, A. (2003). Historia y Filosofía de las Matemáticas. EUNED: San José.

Ruíz Zúñiga, A. (1999). Geometrías no euclideanas: Breve historia de una gran revolución intelectual. Editorial Universidad de Costa Rica: San José.

Tsijli, T. (2004). Geometría Euclidea I. EUNED: San José.